Digital Logic and Boolean Algebra

PRINSIP DASAR ALJABAR BOOLE

Aljabar boole adalah suatu teknik matematika yang dipakai untuk menyelesaikan masalah-masalah logika. Aljabar boole mendasari operasi-operasi aritmatika yang dilakukan oleh komputer dan juga bermanfaat menganalisis dan mendesain rangkaian yang menjadi dasar bagi pembentukan komputer sendiri.

                    

DEFINISI-DEFINISI DASAR ALJABAR BOOLE

1. Operasi Invers

Yaitu operasi logika yang mengubah logika 1 menjadi 0 atau sebaliknya.

Jika suatu variabel x, maka invers x (dibaca : bukan x, x-invers, x-not, x-bar)

 = x-invers

 = A-invers

Tabel kebenaran A-invers :

A
0	1
1	0

2. Operasi AND

Operasi AND antara 2 variabel A dan B ditulis A . B (dibaca: A and B)

Tabel kebenaran A . B :

A	B	A.B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

A . B bernilai 1, hanya jika A dan B bernilai 1

3. Operasi OR

Operasi OR antara 2 variabel A dan B ditulis A + B (dibaca: A or B)

Tabel kebenaran A + B :

A	B	A+B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

A + B bernilai 0, hanya jika A dan B bernilai 0

POSTULAT BOOLE

Postulat-postulat yang berlaku dalam aljabar boole :

P1  :   x = 0 atau x = 1

P2 :   0 + 0 = 0

P3 :   1 + 1 = 1

P4 :   0 . 0 = 0

P5 :   1 . 1 = 1

P6  :   1 . 0 = 0 . 1 = 0

P7  :   1 + 0 = 0 + 1 = 1

 

TEOREMA ALJABAR BOOLE

T1 :   Hukum Komutatif

         a. A + B = B + A

         b. A . B = B . A

T2 :   Hukum Asosiatif

         a. (A + B) + C = A + (B + C)

         b. (A . B) . C = A . (B . C)

T3 :   Hukum Distributif

         a. A . (B + C) = (A . B) + (A . C)

         b. A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

T4 :   Hukum Identitas

         a. A . A = A

         b. A + A = A

T5 :   Hukum Negasi

         a. () =

         b. () = A

T6 :   Hukum Redundansi

         a. A + A . B = A

         b. A . (A + B) = A

T7  :   a. 0 + A = A

         b. 1 + A = 1

         c. 0 . A = 0

         d. 1 . A = A

T8 :   a.  + A = 1

         b.  . A = 0

T9 :   a. A +  . B = A + B

         b. A . ( + B) = A . B

T10 :   Hukum De Morgan

         a. () =  .

         b. () =  +

TABEL KEBENARAN

=> Salah satu cara untuk menguji kebenaran dari teorema aljabar boole

=> Dalam tabel kebenaran, setiap kondisi/kombinasi variabel yang ada harus didaftarkan juga hasil output untuk setiap kombinasi input.

Contoh :

1. Buktikan : A + A . B = A (Hukum Redundansi)

A	B	A . B	A + A . B
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	0	1
1	1	1	1

   

Terbukti bahwa A + A . B = A

2. Buktikan teorema De Morgan : () =  +

         

A	B	A . B				+
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Terbukti bahwa () =  +

NOTASI / UNGKAPAN BOOLE

Keluaran dari satu atau kombinasi beberapa buah gerbang dapat dinyatakan dalam suatu ungkapan logika yang disebut ungkapan Boole. Teknik ini memanfaatkan aljabar Boole dengan notasi-notasi khusus dan aturan-aturan yang berlaku untuk elemen-elemen logika termasuk gerbang logika.

†   Aljabar Boole mempunyai notasi sebagai berikut :

(a)      Fungsi AND dinyatakan dengan sebuah titik (dot, .). Sehingga, sebuah gerbang AND yang mempunyai masukan A dan B keluarannya bisa dinyatakan sebagai :

F = A . B atau F = B . A

dengan A dan B adalah masukan dari gerbang AND. Untuk gerbang AND tiga-masukan (A, B, dan C), maka keluarannya bisa dituliskan sebagai :

F = A . B . C

Tanda titik sering tidak ditulis, sehingga persamaan di atas bisa ditulis sebagai :

F = AB (atau BA) dan F = ABC

(b)      Fungsi OR dinyatakan dengan sebuah simbol plus (+). Sehingga gerbang OR dua-masukan dengan masukan A dan B, keluarannya dapat dituliskan sebagai :

F = A + B atau F = B + A

(c)      Fungsi NOT dinyatakan dengan garis atas (overline) pada masukannya.  Sehingga, gerbang NOT dengan masukan A mempunyai keluaran yang dapat dituliskan sebagai :

F =        (dibaca sebagai not A atau bukan A).

(d)      Fungsi XOR dinyatakan dengan simbol Å.  XOR bernilai 1 jika variable beda. Untuk gerbang XOR dua-masukan, keluarannya bisa dituliskan sebagai :

F = A Å B

†   Notasi NOT digunakan untuk menyajikan sembarang fungsi pembalik (ingkaran).  Sebagai contoh, jika keluaran dari gerbang AND diingkar untuk menghasilkan fungsi NAND, ungkapan Boole dapat dituliskan sebagai :

F =  atau F =

Ungkapan Boole untuk fungsi NOR adalah :

F =

MEMANIPULASI DAN MENYEDERHANAKAN FUNGSI PADA ALJABAR BOOLE

ð  Untuk pertimbangan ekonomis

ð  Jika lebih sederhana, biayanya lebih murah

Contoh :

1. Sederhanakan : A + A .  +  . B

= A + A .  +  . B

= A . ( 1 +  ) +  . B

= A . 1 +  . B

= A +  . B

= A + B

2. Sederhanakan :  . B + A . B +  .

=  . B + A . B +  .

= B . (  + A ) +  .

= B . 1 +  .

= B +  .

= B +

GERBANG-GERBANG LOGIKA (LOGIC GATES)

Gerbang logika adalah piranti dua-keadaan, yaitu mempunyai keluaran dua keadaan. Keluaran dengan nol volt yang menyatakan logika 0 (atau rendah) dan keluaran dengan tegangan tetap yang menyatakan logika 1 (atau tinggi). 

Gerbang logika dapat mempunyai beberapa masukan yang masing-masing mempunyai salah satu dari dua keadaan logika, yaitu 0 atau 1.  Gerbang logika dapat digunakan untuk melakukan fungsi-fungsi khusus, misalnya AND, OR, NAND, NOR, NOT, atau EX-OR (XOR). 

=> Komputer digital pada dasarnya tersusun dari rangkaian gerbang-gerbang logika yang sudah diintegrasikan (IC)

=> Bagian-bagian yang membentuk IC terdiri dari transistor-transistor, dioda-dioda dan komponen zat padat lainnya.

Gerbang-Gerbang Logika Dasar

=> Gerbang AND, OR dan operasi kebalikan (NOT)

=> Kombinasi dari gerbang di atas :

- Gerbang NOT-AND disebut NAND

- Gerbang NOT-OR disebut NOR

- Gerbang Exclusive-OR disebut EX-OR

- Gerbang NOT-EX-OR disebut EX-NOR

=> Simbol dari gerbang-gerbang logika yang dikeluarkan oleh ASA (American Standard Association) yang telah mendapat pengakuan international.

GERBANG AND

†  Gerbang AND digunakan untuk menghasilkan logika 1 jika semua masukan mempunyai logika 1, jika tidak maka akan dihasilkan logika 0.  Daftar yang berisi kombinasi semua kemungkinan keadaan masukan dan keluaran yang dihasilkan disebut sebagai tabel kebenaran dari gerbang yang bersangkutan.  

         

GERBANG NAND

†  Gerbang NAND akan mempunyai keluaran 0 bila semua masukan pada logika 1. Sebaliknya, jika ada sebuah logika 0 pada sembarang masukan pada gerbang NAND, maka keluarannya akan bernilai 1. Kata NAND merupakan kependekan dari NOT-AND, yang merupakan ingkaran dari gerbang AND.

GERBANG OR

†  Gerbang OR akan memberikan keluaran 1 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1.  Jika diinginkan keluaran bernilai 0, maka semua masukan harus dalam keadaan 0.

GERBANG NOR

†  Gerbang NOR akan memberikan keluaran 0 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1. Jika diinginkan keluaran bernilai 1, maka semua masukan harus dalam keadaan 0. Kata NOR merupakan kependekan dari NOT-OR, yang merupakan ingkaran dari gerbang OR.

GERBANG NOT

†  Gerbang NOT merupakan gerbang satu-masukan yang berfungsi sebagai pembalik (inverter). Jika masukannya tinggi, maka keluarannya rendah, dan sebaliknya. 

GEBANG XOR

†  Gerbang XOR (dari kata exclusive-or) akan memberikan keluaran 1, jika masukan-masukannya mempunyai keadaan yang berbeda. Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa keluaran pada gerbang XOR merupakan penjumlahan biner dari masukannya.

 

TABEL KEBENARAN DARI MASING-MASING GERBANG LOGIKA

Gerbang NOT

Gerbang AND

Gerbang OR

 

Gerbang NAND

Gerbang NOR

Gerbang EX-OR

 

Gerbang EX-NOR

MERANCANG DIAGRAM NALAR DARI FUNGSI BOOLE

=> Mengimplementasikan persamaan-persamaan fungsi logika ke dalam untai elektronika logika.

=> Gerbang kombinasi not and (nand) dan not or (not or)

A	B	C =
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Contoh :

Y = A . (  B + C )

W = X  ( Z +  ) +  Z

 

HUBUNGAN TABEL KEBENARAN DENGAN GERBANG LOGIKA

Ø  Salah satu cara untuk menguji kebenaran dari teorema aljabar boole

Ø  Dalam tabel kebenaran, setiap kondisi/kombinasi variabel yang ada harus didaftarkan juga hasil output untuk setiap kombinasi input.

Membentuk Persamaan dari Tabel Kebenaran

Ø  Jika yang dilihat adalah output "1" maka persamaan mempunyai bentuk "Sum of Product (SOP)", dan nilai A, B atau C = 1, maka tetap dituliskan A, B atau C. Tetapi jika nilai A, B atau C = 0, maka dituliskan , , atau .

Contoh :

A B C = 0 0 0 , ditulis :   

A B C = 1 1 1 , ditulis : A B C

Ø  Jika yang akan dilihat adalah output "0", maka bentuk persamaan mempunyai bentuk "Product of_Sum (POS)". Jika nilai A, B atau C = 1 maka dituliskan , , atau . Tetapi jika nilai A, B, atau C = 0, maka dituliskan A, B atau C.

Contoh :

A B C = 0 0 0 , ditulis : A B C  ->  ( A + B + C )

A B C = 1 1 1 , ditulis :     ->  (  +  +  )

MINTERM & MAXTERM

Ø  Cara yang dipakai untuk mempermudah menyatakan suatu ekspresi logika

Ø  Pada dasarnya adalah mendaftar nomor baris atau nilai desimal dari kombinasi variabel input yang outputnya berharga "0" untuk maxterm dan berharga "1" untuk minterm.

Ø  Suatu ekspresi logika yang dinyatakan dalam minterm akan memiliki bentuk "Sum of Product"

Misal :   B C +    + A B  + ...

Ø  Suatu ekspresi logika yang dinyatakan dalam maxterm akan memiliki bentuk "Product of Sum"

Misal :  (  + B + C ) . (  +  +  ) . ( A + B +  ) . ...

Tabel Minterm (SOP) dan Maxterm (POS)

Desimal	A	B	C	Minterm (SOP) S m	Maxterm (POS)M
0	0	0	0	= m0	A B C = M0
1	0	0	1	C = m1	A B  = M1
2	0	1	0	B  = m2	A  C = M2
3	0	1	1	B C = m3	A   = M3
4	1	0	0	A   = m4	B C = M4
5	1	0	1	A  C = m5	B  = M5
6	1	1	0	A B C = m6	C = M6
7	1	1	1	A B C = m7	= M7

Contoh :

1. f(A,B,C) = S m (0,4,5,7)

=    + A   + A  C + A B C

2. Tentukan Maxterm dari tabel kebenaran berikut ini

Desimal	A	B	C	f (A,B,C)
0	0	0	0	1
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	0
4	1	0	0	1
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

Jawab:

Maxterm (lihat output bernilai 0)

f(A,B,C) =  M (1,2,3,6)

= ( A + B +  ) . ( A +  + C ) . ( A +  +  ) . (  +  + C )